Wenn ich in Hessen ganz normal mein Fachabitur mache, wird das dann auch in Bayern und Sachsen anerkannt?

Die meisten Fachhochschulreifen (ein "Fachabitur" gibt es rechtlich nicht) werden wechselseitig anerkannt. Da es sehr viele verschiedene Formen von Fachhochschulreife gibt (manche sind sogar nur eine fachgebundene Fachhochschulreife), solltest Du sicherheitshalber die Zentrale Studienberatung einer Fachhochschule im zum Studium vorgesehenen Bundesland anrufen und dir die Studienberechtigung bestätigen lassen.