Unter der Voraussetzung, dass der obere Punkt auf der gegenüberliegenden Gewässerseite, der mittlere Punkt und der rechtwinklig 18 m vom Ufer abgesetzte Punkt auf einer Geraden liegen (diese Angabe fehlt), kann der Strahlensatz genutzt werden:
x / 15 = 18 / 30
Es hilft am meisten, wenn man die Aufgaben versteht und eigenständig löst. Am Schluss kann man dann die Lösungen vergleichen.
quadrieren, Bruch beseitigen, Klammern auflösen und zusammenfassen
Beginne mit der linken Parabel und nehme als Basis die Scheitelpunktform. Nutze die Koordinaten von S, um die Scheitelpunktform aufzustellen und setze die Koordinaten von Q ein, um den Steigungsfaktor a zu bestimmen.
Setze den x-Wert von P ein, um den zugehörigen y-Wert von P zu bestimmen.
Die Ableitung liefert die Steigung in P. Das ist auch die Steigung in P für die rechte Parabel.
Gehe für die rechte Parabel von der Normalform aus und leite diese ab. Mit P, N und der Steigung in P kannst Du drei Gleichungen aufstellen, um die unbekannten Parameter a, b und c der zweiten Parabel zu bestimmen.
Damit liegen die notwendigen Werte für die Integralrechnung (Volumenberechnung) vor.
...
Bilde 3 Gleichungen mit den Unbekannten λ, μ und k. Nutze die Gleichungen (2) und (3), um λ und μ zu bestimmen. Setze die berechneten Werte in Gleichung (1) ein und bestimme k. Zum Vergleich: k = 17
Die Funktion liegt in der Scheitelpunktform vor. Den Scheitelpunkt kannst Du direkt ablesen: S (40│10) Damit hast Du das Maximum.
Nullstellen:
0 = (-1/200) * (w - 40)² + 10
Der positive Wert ist gesucht.
Schnittpunkt mit der h-Achse:
h(0) = (-1/200) * (0 - 40)² + 10
An welchen Stellen hat der Speer 8 m Höhe?
8 = (-1/200) * (w - 40)² + 10
Hier kommen 2 Lösungen für w heraus.
Welche Höhe hat der Speer nach 70 m?
h(70) = (-1/200) * (70 - 40)² + 10
2 * x = x + x
2 * ln(5) = ln(5) + ln(5)
a^x * a^x = a^(x + x) = a^(2 * x)
e^ln(5) * e^ln(5) = e^(ln(5) + ln(5)) = e^(2 * ln(5))
Da e^ln(5) = 5 muss das das Produkt 25 sein.
Die Variablen werden mit Indizes unterschieden. Du kannst auch x₁ = x und x₂ = y setzen, wenn das besser verständlich ist.
zu a)
Setze a = 6 ein und löse das Gleichungssystem. Du erhältst x₁ und x₂ abhängig von b.
zu b)
Für a = -6 wird die linke Seite der zweiten Gleichung gleich Null. Wenn die rechte Seite ungleich Null ist, gibt es einen Widerspruch und damit keine Lösung. Bestimme also b so, dass die rechte Seite der Gleichung Null ergibt, also 4 + 2b = 0. Dann fällt die zweite Gleichung weg und es gibt unendlich viele Lösungen. x₁ kann dann abhängig von x₂ bestimmt werden.
Beispiel 1a)
1 / 2 = x / 10
Die Dreiecke sind ähnlich, sodass Du entsprechende Seiten ins Verhältnis zueinander setzen kannst.
...
f(x) = x² – x , x₀ = 1
Differenzenquotient:
(f(x₀ + h) – f(x₀)) / h =
((x₀ + h)² – (x₀ + h) - (x₀² - x₀)) / h =
(x₀² + 2 * x₀ * h + h² – x₀ – h - x₀² + x₀) / h =
(2 * x₀ * h + h² - h) / h =
2 * x₀ + h - 1
Differentialquotient:
lim(h → 0) (2 * x₀ + h – 1) = 2 * x₀ - 1
für x₀ = 1
lim(h → 0) (2 * 1 – 1) = 1
Taylorpolynom:
Beginne mit f(x₀), hier: f(1) = 5:
= 5 + 9 * (x - 1) / 1! + 16 * (x - 1)² / 2! + ...
...
Funktionsgleichung:
f(x) = a * x * (x - 7) * (x - 11)
P (3│4,3) einsetzen:
4,3 = a * 3 * (3 - 7) * (3 - 11)
a = 43 / 960
f(x) = (43 / 960) * x * (x - 7) * (x - 11)
a)
Gesucht ist die Fläche unter der Kurve.
∫ (43 / 960) * x * (x - 7) * (x - 11) dx von 0 bis 10 = 15,677...
11000 Liter + 15,677 * 1000 Liter = 26677 Liter
b)
t = 0 Minimal (zu Beginn, da Zulauf)
t = 7 Maximal (ab da Ablauf)
c)
Setze das Integral gleich 15 und bestimme die obere Schranke.
Die liegt bei ca. t = 4,5.
d)
Das gilt im Bereich des Abflusses, also z.B. bei t = 8.
1) AB mittels Kosinussatz
2) α (Dreieckswinkel in A) mittels Sinussatz
3) Höhe h = t mittels Sinus
4) Höhenfußpunktabschnitt (Abschnitt von A zum Höhenfußpunkt) mittels Kosinus
5) AP mittels Differenz zu 40
Du hast nicht alle Bedingungen ausgewertet.
Funktion und Ableitungen:
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
Es gibt 4 Bedingungen und 4 Unbekannte.
Bedingungen:
(1) f(0) = 3
(2) f'(0) = 0
(3) f(1) = 5
(4) f''(1) = 0
Gleichungssystem:
(1) d = 3
(2) c = 0
(3) 5 = a + b + 3
(4) 0 = 6a + 2b
--------------------
Es reduziert sich auf ein LGS mit 2 Unbekannten.
Das führt zu a = -1 und b = 3. c und d sind ja schon bekannt.
Beachte die ähnlichen rechtwinkligen Dreiecke, die durch die Höhen h_a, h_b und h_c entstehen.
Voraussetzung: c_2 geht über A hinaus.
Strahlensatz:
h_b / h_c = a_1 / a_2
h_c / h_a = b_1 / b_2
h_a / h_b = c_1 / c_2
-------------------
(h_b / h_c) * (h_c / h_a) * (h_a / h_b) = (a_1 / a_2) * (b_1 / b_2) * (c_1 / c_2) = 1
2t -t³ = t - t²
t³ - t² -t = 0
t * (t² - t - 1) = 0
t_1 = 0
t² - t - 1 = 0
t = (1 / 2) +-√((1 / 2)² + 1)
t_2 = (1 / 2) * (1 + √5)
t_3 = (1 / 2) * (1 - √5)
Werte für t einsetzen und zugehörige x- und y- Werte ermitteln.
Bilde die Differenz der beiden Funktionen, also f(x) - g(x) und bestimme davon das Maximum.
Das funktioniert mittels Differentialrechnung (Ableitung gleich Null setzen) oder einfach, indem der Scheitelpunkt der Differenzfunktion bestimmt wird.
Zum Vergleich: Der größte Abstand liegt bei x = 35
Durch das Quadrieren (keine Äquivalenzumformung) können Scheinlösungen entstehen. Daher müssen die Ergebnisse der Rechnung überprüft werden.
2^x * 8 + 2^x = 68
2^x * 8 + 2^x * 1 = 68
9 * 2^x = 68
...
f'(x) passt, f''(x) nicht
Produktregel anwenden
f(x) = x² * e^x
f‘(x) = 2 * x * e^x + e^x * x² = e^x * (2 * x + x²)
f''(x) = e^x * (2 * x + x²) + (2 + 2 * x) * e^x = e^x * (x² + 4 * x + 2)