Warum ist diese Menge weder abgeschlossen noch offen?

2 und 17 sind keine Randpunkte.

Das ist der erste Trugschluss. Sie kennzeichnen zwar irgendwie den "Rand" des Intervalls, aus dem wir uns die x-Werte herausnehmen, aber sie sind kein Rand der Menge im topologischen Sinne.

Gehen wir es erst formal durch und machen dann ein bisschen Intuition.

Was heißt es, dass eine Menge offen ist? Wenn wir um jeden Punkt in der Menge eine offene Epsilon-Kugel legen können, deren Elemente alle immer noch in der Menge sind. Den Radius der Kugel können wir uns dabei aussuchen, er darf nur nicht null sein. Probieren wir es doch hier mal:

Sei x aus der Menge. Nehmen wir mal an, es gäbe so ein ε mit



Schauen wir uns jetzt den Punkt



an - der liegt in der Epsilon-Kugel und müsste damit auch noch in der Menge selbst liegen. Aber: Wenn der linke Wert x + ε/2 ist und der Punkt in der Menge liegt, muss der rechte Wert (x + ε/2)³ sein. Aber



(weil wir das Epsilon nicht-null gewählt haben) und damit liegt der Punkt eben nicht in der Menge. Da haben wir unseren Widerspruch.

Die Menge ist also nicht offen.

Warum? Wie kann man sich das erklären? Im Wesentlichen ist diese Menge der Graph einer Funktion - und mit Graph meine ich nichts Geometrisches, sondern die Menge aller Punkte. Es geht um die Funktion



und wenn wir die mal zeichnen, sehen wir schnell, warum das mit der Epsilon-Kugel so nicht klappen kann:

Das grüne ist unsere Epsilon-Kugel - wir können den Radius aber nie so klein wählen, dass nur Punkte von dem Graphen selbst enthalten sind. Deshalb kann die Menge nicht offen sein. Hier sehen wir auch schnell, dass die Menge (fast) selbst ihr eigener Rand ist - denn eine Epsilon-Kugel um einen Punkt des Graphen enthält immer Punkte des Graphen selbst, aber auch Punkte von außenrum (des Komplements). Dass das nur fast stimmt, sehen wir jetzt (denn wäre sie ihr ganzer Rand, wäre sie abgeschlossen).

Was heißt es, wenn eine Menge abgeschlossen ist? Das kann man sich im Wesentlichen auf zwei Arten vorstellen:

1. Dass ihr Komplement offen ist.
2. Dass sie gleich ihrem Abschluss ist.

Dabei ist die zweite hier anschaulicher: Die "Enden" des Graphen an den Stellen 2 und 17 sind keine Elemente der Menge mehr. Wir wollen jetzt sehen, dass sie aber zum Rand der Menge gehören.

Dass ein Element zum Rand gehört, bedeutet, dass eine Epsilon-Kugel um dieses Element immer Elemente der Menge und Elemente des Komplements enthält. Wenn das bei den Enden des Graphen auch so ist, gehören sie auch zum Rand - und das ist genau so. Denn legen wir z.B. eine Epsilon-Kugel um den Punkt (2, 8), dann

• enthält er auf jeden Fall den Punkt (2, 8), denn das ist ja der Mittelpunkt und Element des Komplements,
• enthält er aber auch ein Element des Graphen - das kann man sich so vorstellen, dass die "Graph-Linie" ja unendlich nach an den Punkt (2, 8) herankommt. D.h. wenn ich mit dem Radius der Epsilon-Kugel vom Punkt (2, 8) nur ein winziges Stückchen in Richtung des Graphen gehe, habe ich schon mindestens einen Punkt in der Epsilon-Kugel.

Die Menge ist also nicht abgeschlossen.

Das scheitert aber allein an den zwei Punkten (2, 8) und (17, 17³). Wären die noch drin (würde man also von einem echt kleiner zu einem kleiner/gleich übergehen), wäre die Menge abgeschlossen.

Ich glaube, dass du noch ein bisschen falsch über Begriffe wie Rand, offen und abgeschlossen denkst:

• Der Rand einer Menge ist intuitiv die Menge der Punkte, die sowohl das Innere, als auch das Äußere berühren. Formal: Die Menge der Punkte, um die eine beliebige Epsilon-Kugel immer sowohl nicht-trivialen Schnitt mit der Menge, als auch nicht-trivialen Schnitt mit dem Komplement hat.
• Offen ist nicht das Gegenteil von abgeschlossen. Das mag im normalen Sprachgebrauch oft so sein, ist aber in der Mathematik nicht so. Nur weil eine Menge offen ist, heißt das nicht, dass sie nicht abgeschlossen ist. Es gibt Mengen, die sowohl offen, als auch abgeschlossen sind und es gibt Mengen, die weder offen, noch abgeschlossen sind.

Schau dir die abstrakten Definitionen nochmal an und überlege dir, inwieweit sie mit dem intuitiven, "normalen" Verständnis korrelieren. Das tun sie in der Topologie nämlich manchmal nur ein bisschen.

LG

Erst einmal sollten wir eine anschauliche Vorstellung davon gewinnen, wie die Menge (Ich nenne sie im Folgenden einfach mal M) aussieht. Sie stellt einfach den Graphen der Funktion f(x)=x^3 im R2 da, für Werte von 2 < x < 17. Daran kann man dann auch schon leicht erahnen, dass M weder offen noch abgeschlossen ist.

Abgeschlossen heißt eine Menge wenn keine Folge existiert, deren Elemente alle in M liegen, aber die gegen einen Wert außerhalb der Menge konjugiert. Also der Rand von M ist Teilmenge von M. Als Gegenbeispiel kann man hier einfach  wählen. a_n stellt eine Folge von Punkten auf dem Graph von x³ da, deren Elemente alle in der Menge liegen. Der Grenzwert allerdings ist  der nicht in M liegt. M ist also nicht abgeschlossen.

Das heißt aber nicht automatisch, dass M offen ist. Bei einer offenen Menge muss für jeden Punkt in M eine Umgebung existieren, die auch in M liegt.

Der Punkt (3,27) ist z.B. Element von M. Ich kann aber z.B. kein Epsilon > 0 finden, sodass noch Element der Menge ist.

Anders gesagt.

Eine Offene Menge enthält kein Element ihres Randes.

Eine Abgeschlossenen Menge enthält ihren gesamten Rand.

Unsere Menge hat aber den Rand Die Elemente (2,8) und (17, 17³) sind Element des Randes, aber nicht der Menge, sie ist also nicht abgeschlossen.

Gleichzeitig sind aber alle anderen Elemente des Randes Elemente der Menge, sie ist also auch nicht offen.

Diese Menge ist eine Kurve in R^2, das siehst du daran, dass es nur die eine Variable x gibt. Eine Kurve in R^2 kann schon nicht offen bezüglich der Standardtopologie von R^2 sein, weil du um jeden Punkt der Kurve einen noch so kleinen offenen Kreis legen kannst, er wird immer Punkte der Kurve und Punkte außerhalb der Kurve enthalten. Die Kurve ist aber auch nicht abgeschlossen, weil Anfangs- und Endpunkt nicht enthalten sind.