Eigenschaften von Relationen?

Zu deinen Lösungen von a):

Du hast ein Fehler bei Antisymmetrie:

Antisymmetrie ist definiert als: (a,b) und (b,a) in R => a=b

Da ist aber kein Paar von Tupeln drin, die das widersprechen.

Transitivität ist auch inkorrekt begründet. Nach transitivität folgt nicht, dass wenn (1,2) und (2,2) drin sind, dass dann (2,1) drin sein müssen. Schau dir nochmal an, wie es genau definiert ist.

Asymmetrie: es soll nicht irreflexiv heißen.

(Btw: bitte mache deine lösungen das nächste Mal nicht als extra antwort, hänge die das nächste Mal an der Frage an, du kannst im Nachhinein deine Frage bearbeiten. So muss jeder Antwortgeber nämlich unnötig hin und her scrollen (vor allem am Handy) weswegen man leicht Fehler macht).

Zu b):

reflexiv: überlege, ob n<=2n immer wahr ist.

irreflexiv: korrekt

Symmetrie: es existiert mindestens ein Gegenbeispiel.

Antisymmetrie: es existiert mindestens ein Gegenbeispiel

Asymmetrie: korrekt.

Transitivität: es existiert mindestens ein Gegenbeispiel. Tipp: mir fällt spontan ein Beispiel ein, wo das Tupeln (6,2) vorkommt.

a)

R₁ ist transitiv. Schau dazu alle Paare der Form (x, y), (y, z) an (es gibt nur 3). Ist dabei immer (x, z)∈R₁? Dein Gegenbeispiel ist falsch: hier ist x=1, y=2 und z=2, also (x, z)=(1, 2) – nicht (2, 1).

R₁ ist auch antisymmetrisch: Prüfe dazu dass für alle Elemente (x, y) mit x≠y die Umkehrung (y, x)∉R₁.

R₁ ist nicht asymmetrisch, weil sie nicht irreflexiv ist.

b)

R₂ ist reflexiv, denn für jedes n∈ℕ gilt n≤2n (Beweis: 0≤n ⇔ 0+n≤n+n ⇔ n≤2n).

Ist R₂ transitiv? Schau Dir mal nur die zweite Bedingung an: Folgt aus n=3m und m=3o ⇒ n=3o? Wohl kaum. Daraus kannst Du Dir ein Gegenbeispiel basteln: (9, 3)∈R₂, (3, 1)∈R₂, aber (9, 1)∉R₂, da weder 9≤2·1 noch 9=3·1 gilt.

Ist R₂ symmetrisch? Dazu müsste die Bedingung auch wahr sein, wenn Du n und m vertauschst. Danach sieht sie aber nicht aus. { m≤2n oder m=3n } ist nicht dasselbe wie die Original-Bedingung. Probier einfach ein paar Werte durch: Mit (1, 2) klappt es nicht, da auch (2,1)∈R₂. Aber (1, 4)∈R₂ passt, denn (4, 1)∉R₂ (wegen 4>2·1 und 4≠3·1).

R₂ ist aber auch nicht antisymmetrisch, weil (1, 2)∈R₂ und (2,1)∈R₂. Damit ist R₂ natürlich auch nicht asymmetrisch.

a)

transitiv: Ja, da gilt "Wenn (a,b) und (b,c) enthalten sind, dann muss auch (a,c) enthalten sein". (0,2) und (2,2) => (0,2) ist genauso erfüllt wie (0,1) und (1,2) => (0,1).

asymmetrisch: Nein, da nicht irreflexiv

antisymmetrisch: Ja, da gilt "Wenn (a,b) und (b,a) enthalten sind, dann muss a=b sein". Das einzige Paar, was diese Voraussetzungen erfüllt ist (2,2) und 2=2 ist eine wahre Aussage.

b)

reflexiv: Ja, da gilt "Für alle a aus ℕ gilt, dass (a,a) in der Relation ist". Liegt daran, dass mit n≤2m es für jedes m ein n gibt, dass den gleichen Wert hat, da n ja auch kleiner als 2m sein kann, insebsondere dann auch gleich m.

transitiv: Nein, da (6,3) und (3,1) enthalten sind, aber nicht (6,1).

symmetrisch: Ja, denn wenn (a,b) enthalten ist, muss (b,a) auch enthalten sein, was immer geht. Denn wegen a≤2b und b≤2a erhalten wir a≤4a, was für alle natürlichen Zahlen wahr ist.

Alles andere ist soweit korrekt.

Bitteschön :)

Zu a)

Zu b)