Ich bin gerade NEBEN DICH gelaufen oder neben dir?

Es geht beides, und es kommt halt drauf an, was man sagen möchte.

"Ich bin neben dir gelaufen" bedeutet, dass wir nebeneinander her gelaufen sind.

"Ich bin neben dich gelaufen" bedeutet, dass ich vorher woanders gelaufen bin, also zum Beispiel vor oder hinter dir, und dann an deine Seite gekommen bin.

Neben dir.
Neben dich sagt man nur, wenn man zu der Person hingeht. Z.B. Ich hab mich neben DICH gesetzt. Aber wenn man fortwährend bei ihr ist (z.B. mit ihr mitläuft), dann sagt man NEBEN DIR. Ich stehe neben DIR, ich laufe neben DIR, ich sitze neben DIR.

Edit: „Neben dich laufen” ist nur dann möglich, wenn man wirklich neben die Person hin rennt. Das sagt man zwar seltener, weil dann „Ich bin zu dir gelaufen“ geläufiger ist, aber unmöglich ist es nicht.

Beides geht. Es kommt halt darauf an, ob du neben mich oder neben mir gelaufen bist.

Im Ruhrpott geht aber, glaube ich, nur eins.

Das kommt darauf an

ich bin gerade nicht gegen dich gelaufen

....neben Dir (her) oder zu Dir (hin).