Bild 1:

Bei c) berechnest Du die Wahrscheinlichkeiten für MAI und WER wie in der Aufgabe davor für OOO, d. h. die Wahrscheinlichkeiten für das Erscheinen auf den entsprechenden Scheiben werden multipliziert! Für das Wort MAI scheinst Du richtig angefangen zu haben (wenn das Mal-Zeichen zwischen den Brüchen sein sollen), aber warum hinten 3/5 (!?), richtig wäre 1/5. Es gibt nur 1 I auf Scheibe 3, oder 3/5, weil M, A und I auf der letzten Scheibe vorkommen? Relevant ist nur das I, um das Wort MAI zu erhalten. Das Ergebnis würde man natürlich soweit wie möglich kürzen. Richtigerweise p(MAI)=1/3*2/4*1/5=1/30.

Für das Wort WER addierst (??) Du die Wahrscheinlichkeiten, und das anscheinend, indem Du einfach Zähler und Nenner jeweils addierst, was natürlich absolut falsch ist!!!!

Richtig: p(WER)=1/3*1/4*1/5=1/60, und das ist die Hälfte von 1/30 (=2/60). Man hätte die Wahrscheinlichkeiten aber nicht einmal ausrechnen müssen: Nur bei Scheibe 2 sind die Wahrscheinlichkeiten beider Wörter verschieden, wobei dort doppelt soviele A's (2) wie E's (1) vorkommen...

d) "genau einmal A" bedeutet, entweder nur vorne, nur in der Mitte oder nur hinten steht ein A. D. h. Du berechnest die Wahrscheinlichkeiten für Axx, xAx und xxA und addierst diese, also:

p=1/3*2/4*4/5+2/3*2/4*4/5+2/3*2/4*1/5=...

e) p(MAMI)=2,5 % bedeutet, dass p(MAM) * p(I) diese 2,5 % ergeben muss, d. h. umgestellt p(I)=0,025/p(MAM).

Machst Du es richtig, sollte p(I)=0,75 rauskommen, d. h. bei Scheibe 4 muss die Wahrscheinlichkeit für das Erscheinen des Buchstabens I 0,75=3/4 betragen, d. h. Scheibe 4 muss z. B. aus 4 Feldern bestehen, von denen 3 den Buchstaben I haben.

Bild 2 kann jemand anderes übernehmen - ist "etwas" spät...

Du berechnest das Integral der Differenzfunktion g(x)-f(x) in den Grenzen 0 bis 2. (g-f, weil g über f liegt; andersherum würde ein negativer Wert rauskommen; wäre aber auch nicht dramatisch: da es um Flächen geht nimmst Du dann einfach nur den Betrag...)

Genauso gut, aber mit mehr Schreib-/Rechenarbeit könntest Du erst das Integral von g(x) ausrechnen (ist die "größere" Funktion in diesem Intervall) und davon das Integral von f(x) abziehen. So rechnest Du zuerst die (gesamte) Fläche unter dem Graph g aus und ziehst die Fläche unter f davon ab: übrig bleibt die schraffierte Fläche.

Wenn Du es "in einem Rutsch" schreibst, musst Du auch dabei schreiben x->±∞, also

lim f(x)=±∞

x->±∞

D. h. bei der oberen Grenzbetrachtung (x->+∞) kommt das obere Vorzeichen raus (hier +∞); bei der Betrachtung x->-∞ entsprechend das untere Vorzeichen.

Würde es z. B. Im Funktionsterm x² statt x³ heißen, könntest Du verkürzt schreiben:

lim f(x)=∞

x->±∞

Hieße es -x³ statt x³ im Term, dann würde man hier kurz schreiben:

lim f(x)=-/+∞ (- oben ; + unten)

x->±∞

Unten links muss es in der dritten Zeile -30, nicht +30 heißen (-43-13*(-1)=-30)

Umgekehrt proportional, indirekt proportional und antiproportional bedeuten alle dasselbe. Es gilt: y=k/x bzw. y*x=k. D. h. wenn die zugeordneten Zahlenpaare (x;y) multipliziert immer denselben Wert ergeben, dann ist die Zuordnung umgekehrt/indirekt/anti-proportional.

Gilt y=k*x bzw. y/x=k, d. h. die Division von x und y ergibt immer denselben Wert, dann liegt eine proportionale Zuordnung vor.

y=-x bedeutet y=-1 * x, bzw. y/x=-1 und wäre somit eine proportionale Zuordnung.

a) um keine komplette Kurvendiskussion durchführen zu müssen (u. a. Ermittlung Extrem-/Wendestellen) wird wahrscheinlich eine Wertetabelle reichen (z. B. mit TR mit Abstand 0,5; also 30 Punkte im angegebeben Intervall [0;15].

Die flachere Seite des Graphen (also rechts) ist die wasserzugewandte Seite (so ist es links neben der Aufgabe auch dargestellt): warum genau - keine Ahnung (sollte man das Wissen müssen?), wohne im Binnenland und habe mich mit Deichbau nie beschäftigt, vielleicht klärt mich ja jemand auf...

b) Extrempunkt ermitteln

c) die maximale Steigung ist am Wendepunkt, und dieser soll (vertraglich) kleiner 45 %, also kleiner 0,45 sein. Das stimmt aber nicht: wenn ich mir die Ableitung anzeigen lasse, liegt das maximale Gefälle über 0,5; wahrscheinlich sollte es 45° (also 100 %, also Steigung/Gefälle ±1) heißen, denn m=-1 (also Gefälle 45°) wird nicht erreicht...

d) berechne, an welchen beiden Stellen f(x) den Wert 4,5 annimmt. Die Differenz dieser Stellen ist die Breite des Deichs auf dieser Höhe

e) berechne das Integral zwischen den beiden unter d) ermittelten Grenzen von f(x)-4,5 und multipliziere dieses Ergebnis (=Fläche des abzutragenden Deichquerschnitts) mit der Länge 1.000 m

Gesucht ist die Tangente t(x)=mx+b.

Du hast die Steigung gegeben [f'(x)] und kennst einen Punkt (musst nur dessen y-Wert noch ermitteln).

Das setzt Du einfach in t(x) ein und rechnest noch das b aus (wie Du es "damals" beim ermitteln von linearen Gleichungen machen müsstest...)

a) f(x)=x² => f(1)=1²=1, also P(1|1) und m=f'(1)=2

Werte in t einsetzen: 1=2*1+b <=> b=-1

also t(x)=2x-1.

Der abgebildete Graph f'' zeigt die Steigung von f' (f'' ist quasi die 1. Ableitung von f').

a) bei x<0 sind die Funktionswerte von f'' negativ, d. h. f' ist in diesem Bereich fallend

b) die Steigung einer Funktion sagt nichts über ihre Funktionswerte aus. D. h. Du kannst einen Graphen beliebig weit nach oben oder unten verschieben - die Steigung bleibt dieselbe, d. h. diese Aussage kann stimmen, muss aber nicht...

c) für x>0 gilt laut gezeigtem Graph: f''(x)>0. Und das bedeutet, dass f linksgekrümmt ist.

d) f' ist linksgekrümmt, wenn deren 2. Ableitung, also f''' größer 0 gilt. Der gezeigte Graph lautet f''(x)=x, also f'''(x)=1, d. h. f'''(x)>0 => f' ist linksgekrümmt.

a) Die Höhe des Streifens (messen!) entspricht 42 %. Du musst nun ausrechnen, wieviel cm 100 % entsprechen.

b) Berechne das Rechteck (Breite und Höhe messen und multiplizieren). Diese Fläche entspricht 72 %. Gefragt ist wieder nach 100 %.

f'(x)=0 ist die notwendige Bedingung dafür, dass eine Extremstelle vorliegt. Sicher geht man erst durch Prüfung dieser Stelle mit der zweiten Ableitung (hinreichende Bedingung): f''(x)>0 => Tiefpunkt an der Stelle x; f''(x)<0 => Hochpunkt.

also:

a) =T(5|-3)
b) =H(2|0)

A: f'(1)=0 bedeutet: an der Stelle x=1 ist die Steigung 0: stimmts?
B: f''(3)=0 bedeutet: an der Stelle x=3 ist eine Wendestelle oder eine mehrfache (min. 4fach) Nullstelle: stimmts?
C: f'(3)<0 bedeutet: an der Stelle x=3 ist die Steigung negativ, d. h. der Graph fällt dort: stimmts?
D: f'(-1)=0 - sh. Behauptung A
E: f''(-1)>0 bedeutet: der Graph ist an der Stelle x=-1 linksgekrümmt: stimmts?
F: f''(1)>0 - sh. Behauptung E

Den Flächeninhalt von Rechtecken berechnet man bekanntlich, indem man die beiden Seitenlängen miteinander multipliziert.

Hier hat die Seitenbreite jeweils die Länge t und die Seitenhöhe entspricht dem Funktionswert, also f(t). D. h. die "Flächenfunktion" lautet: A(t)=t * f(t).

Jetzt die entsprechenden Terme einsetzen, gegebenenfalls ausmultiplizieren und dann von A das Maximum bestimmen.

Die Vorgehensweise beim maximalen Umfang ist die gleiche, "Umfangfunktion" aufstellen und davon dann das Maximum bestimmen.

Das, was bekannt (vorgegeben) ist, ist die Bedingung, also in Deinem Beispiel, dass die Person positiv getestet ist, also:

P_positiv-getestet(krank) - Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person krank ist, unter der Bedingung, dass der Test positiv war.

P_A-Strich(B)=P(A-Strich n B)/P(A-Strich)=0,55/0,57.

Der Rest stimmt.

Wenn Du die Wendetangente auf das "gewohnte Format" umstellst, erhältst Du y=3/2x+1/2.

D. h. bei x=-1 ist die Steigung 3/2, nicht 3.

Der Rest stimmt.

Wie Du das mit dem Einzeichnen gemeint ist wurde ja schon beantwortet: 4 Kästchen entsprechen der Fläche 1, d. h. die gewünschte Fläche mit 1,5 (FE) entspricht 6 Kästchen, und das ist bei ca. x=1 der Fall.

Den genauen x-Wert, an der die Parallele gezeichnet werden müsste, erhältst Du durch die Rechnung:

 (Lösung: x=0,94)

Genausogut könntest Du aber auch links der x-Achse die Parallele ziehen - es ist ja nicht explizit angegeben, dass die Parallele rechts der x-Achse sein muss! Dann hieße die nötige Rechnung:

 (Lösung: x=-0,637)

Die Ableitung der e-Funktion ist die e-Potenz mal ihrer inneren Ableitung, also mal der Ableitung des Exponenten.

f1(x)=e^(-x²) => f1'(x)=e^(-x²) * (-2x) =-2xe^(-x²)
f2(x) ist korrekt
f3(x)=7+2e^(-x-x²) => f3'(x)=2e^(-x-x²) * (-1-2x) = -2(2x+1)e^(-x-x²)
(Du brauchst bei der dritten keine Produktregel: die 2 ist ein konstanter Faktor und bleibt beim Ableiten erhalten, e wird dann wie zuvor mit der Kettenregel abgeleitet: abschließend habe ich noch -1 aus der inneren Ableitung ausgeklammert, um nicht mit zu vielen Minuszeichen bei evtl. Weiterrechnen hantieren zu müssen...)
f4(x)=(3x²-1)^5 => (Kettenregel) f4'(x)=5 * (3x²-1)^4 * 6x = 30x(3x²-1)^4
f5(x) ist korrekt
f6(x)=-2x²e^(-1/2x) => f6(x)=-4xe^(-1/2x)+(-2x²)e^(-1/2x)*(-1/2)=-4xe^(..)+x²e^(..)=e^(..) * (-4x+x²) = e^(..) * x * (x-4) = x(x-4)e^(..)

a) A_Quadrat stimmt; A_Kreis ist nur eher "zufällig" richtig...: Der Radius des Kreises ist 8 cm; und hier handelt es sich um einen Viertelkreis, der vom 8x8-Quadrat abgezogen werden muss, d. h. hier gilt: A_Kreis=1/4 * pi * 8² = pi * 16 = 50,27.

Da Du (u. a.) den falschen Radius ansetzt, stimmt der Umfang auch nicht. Der Umfang der markierten Fläche besteht aus dem Bogen eines Viertelkreises mit r=8 cm und den beiden Seiten links und oben mit jeweils 8 cm, d. h.:

U_markierte_Fläche=8 cm + 8 cm + 1/4 * (2 * pi * 8) = 16 + 4 * pi = 28,57 cm.

b) stimmt auch nicht; r=4 cm ist der Radius des weißen Halbkreises unten. Wenn der äußere Bogen der markierten Fläche korrekt gezeichnet ist, entspricht dieser nicht dem Bogen eines Viertelkreises mit r=8 cm (dann müsste der Bogen der gleichen Verlauf haben wie in der Zeichnung darüber...)!!

Beim zweiten hast Du beim Einsetzen die x- und y-Werte vertauscht, d. h. oben muss es E/P2 und unten E/P1 heißen, dann kommt auch dasselbe raus wie bei deiner ersten Variante.

Es gilt (generell) P(A)+P(B)=1.

Und vorgegeben ist P(A)*P(B)+P(B)*P(A)=0,48.

Dieses Gleichungssystem musst Du nun lösen und dann den Anteil von P(A) am Ganzen (=1) in den gleichen Anteil am Vollkreis umrechnen.