Mathe?
3 Antworten
Wie so oft und gefühlt das dreihunderteinundneunzigste Mal: "Wenn der Schüler etwas nicht versteht, macht er sich eine Skizze oder eine Tabelle".
Wäre ich Lehrer, würde ich das jede Stunde erwähnen, bis das auch der letzte Schüler endlich begriffen hat, dass Skizzen hilfreich sind.
Die könnte in diesem Fall so aussehen, dass man zuerst das Koordiunatensystem einträgt und dann alle Informationen, die man der Aufgabe entnehmen kann:
Sobald man das Problem bildlich vor sich hat, findet man auch leichter Lösungen.
1) Ansatz der Funktionsgleichung aufstellen. Hier bietet sich direkt die Scheitelpunktform an.
2) Mit Hilfe P3 den Streckungsfaktor a berechnen. Damit hat man die Funktionsgleichung.
3) Dann berechnet man die fehlenden y-Koordinaten der Punkte P1 und P2.
4) Die y--Koordinaten von P1 bis P3 sind gleichzeitig die Seillängen. Die muss man einfach addieren. Beachte: Das ganze gibts zweimal.
5) Um die Länge der beiden Hauptseile zu berechnen, nähert man diese durch gerade Strecken zwischen den Punkten an (blaue Linien in der Skizze). Die Längen dieser Strecken lassen sich dann leicht mit Pythagoras berechnen und anschließend aufaddieren:
für die Strecke s zwischen zwei Punkten gilt:
s^2 = ∆x^2 + ∆y^2
Skizze siehe oben bei der Antwort
Und was genau willst du nun wissen? Lege die x-Achse auf Straßenhöhe und die y-Achse genau in die Mitte der Parabel. Nun überlege dir doch zunächst mal in welchen Abständen (also bei welchen x-Werten) die Seile überhaupt befestigt sind. Trage alle bekannten Größen in das Koordinatensystem ein.
Die gesuchte Parabel hat die Form f(x) = a*x² + c (warum?).
Nun berechne aus den Angaben zunächst a und c. Dann berechne die y-Werte zu den x-Werten der Seile und addiere auf.
Den Ursprung des Koordinatensystems legt man auf die Mitte der Fahrbahn. Daraus folgt der Ansatz f(x) = a*x² + b
f(0) = 5 (Scheitel)
f(-60) = 35 (Pylon links)
f(+60) = 35 (Pylon rechts)
Die Aufgabe ist schlecht formuliert. Was genau soll die Spannweite sein? Oft bezeichnet man damit auch den Abstand zweier benachbarter Brückenpfeiler.
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f(0) = b = 5
f(+60) = a*60² + 5 = 35 --> a = 1/120
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f(x) = x²/120 + 5
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Länge der Hängeseile:
Geht man davon aus, dass sich an den Pylonen Hängeseile befinden, dann nehmen die 10 Seile einen Abstand von 120/9 ein. Auch hier ist die Aufgabe schlecht formuliert, denn würde sich ein Hängeseil in der Mitte befinden (wie in der Aufgabe dargestellt), wäre die Anzahl der Seile ungerade. An dieser Unklarheit scheitert die richtige Lösung.
Unter den Annahmen ergeben sich die Längen zu
f(-60 + k*120/9) für k = {0,1,2...,9}
Die Länge des Hauptseils kann man mit dem Pythagoras abschätzen. Die einzelnen Strecken sind die Hypothenusen von rechwinkligen Dreiecken. Alle Dreiecke haben die gleiche Breite von 120/9 und die Höhe zweier benachbarter Punkte x1 und x2 beträgt f(x2) - f(x1).
Weil die Parabel symmetrisch zur y-Achse verläuft, reicht es in beiden Fällen nur den rechten Teil der Brücke zu berechnen.
Wie macht man das dann mit dem Pytagoras? Könntest du mir ein Beispiel geben?