iMac?

Das Foto zeigt die Installation einer recht alten Version des Mac OS X-Betriebssystems. Das AppStore Logo im 3D-Design gibt es schon eine Weile nicht mehr und der Fortschrittsbalken im Schrägstreifendesign (solange noch nicht feststeht, wie lange der Prozess dauert) ist fast schon antik ;).
Apple hat sein Cloud-System, zu dem man mit seiner Apple-ID Zutritt erhält, seit dem schon einigemale "runderneuert". Daher ist es sehr wahrscheinlich, dass es über das alte OS X System rein technisch keinen gültigen Zugang zur aktuellen iCloud mehr gibt - und damit auch nicht zum Mac AppStore, der Teil dieses Ökosystems ist.
Das Problem ist also sehr wahrscheinlich nicht, dass du falsche Eingaben machst, sondern, dass die Verbindung nicht mehr funktionieren kann.
Je nachdem, welche Version von Mac OS X du installieren möchtest, gibt es aber vielleicht noch Alternativen, bei denen die Installationsroutine nicht nach dem AppStore oder deiner Apple-ID fragt.
Dazu wendest du dich entweder an den nächsten Apple Store oder suchst in der Community nach einem Spezialisten dafür.

Wenn du mit iPhone schon eine Apple ID hast, musst du natürlich die eingeben.
Eine Apple ID gilt für alle Geräte: das ist der Sinn dabei!

Und lösch das zweite Bild. Es muss hier niemand deine Email sehen!