Da als Thema sowohl Christentum wie auch Muslime genannt werden, sage ich was zum Christentum:
Man sollte nicht grundlos schwören, siehe Mt 5,33-37, was hier schon in anderen Antworten zitiert wurde.
Aber zuweilen wird ein Eid von einem verlangt, z.B. bei Gericht. Jesus hat in so einem Fall geschworen:
Mt 26,63 Aber Jesus schwieg. Da sagte der Hohepriester zu ihm: »Ich nehme dich vor dem lebendigen Gott unter Eid. Sag uns: Bist du der Messias, der Sohn Gottes?« – 64 »Du selbst hast es ausgesprochen«, erwiderte Jesus. »Und ich sage euch: Von jetzt an werdet ihr den Menschensohn an der rechten Seite des Allmächtigen sitzen sehen, und ihr werdet sehen, wie er auf den Wolken des Himmels kommt.«
Was Jesus in V.64 sage, sagte Er unter Eid aus - er hat nicht gesagt: Nein, ich schwöre nicht …