Wenn man davon ausgeht, dass 6 + e^x für große Werte für x näherungsweise gleich e^x ist, ergibt sich eine einfache Lösung:
ln(6 + e^x) / √(5 + 5x²) ≈ ln(e^x) / √(5 + 5x²)
Das führt zu
x / (x * √((5 / x²) + 5) =
1 / √((5 / x²) + 5)
und damit zum Grenzwert für x gegen unendlich von
1 / √(5) = √(5) / 5
Ist die Nadel des Plattenspielers evtl. voll Staub oder abgenutzt.
Eine übersichtliche Themendarstellung findet man in "Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler" von Lothar Papula.
A + AB = B
Dreimal L'Hospital anwenden führt zum Grenzwert 1/3.
Bei Aufgabe 5.08) ist die Wanne zu Beginn (t = 0) leer und bei Aufgabe 5.09) ist die Wanne zu Beginn (t = 0) mit 150 Liter gefüllt.
f)
Im ersten Bruch x ausklammern, ergibt x * (x + 2) im Nenner und anschließend die Gleichung mit x * (x + 2) (Hauptnenner) multiplizieren. Ausmultiplizieren und zusammenfassen. Es vereinfacht sich erheblich.
c)
Schrankentauschen mit Vorzeichenwechsel und Faktoren herausziehen, dann zusammenfassen.
d)
Erstes und letztes Integral zusammenfassen (vorab Schranke eines Integrals tauschen) und Klammer auflösen. Es vereinfacht sich. Anschließend Schranken aufteilen in -1 bis 1 und 1 bis 2 und weiter zusammenfassen.
x = √(5^6) = 5^(6/2) = 5^3 = 125
zu e)
Bestimme das Integral in den Schranken 0 und 4 und vergleiche das Ergebnis mit 3 Millionen.
Die Winkelfunktionen helfen:
55 / AB = tan(15,5° + 23,7°)
AB / CD = cos(15,5°)
(55 - AD) / AB = tan(15,5°)
Es gibt viele gleichschenklige Dreiecke mit 48 m² Flächeninhalt. Meinst Du vielleicht ein gleichseitiges Dreieck.
Wenn h = 22 und r = 14, gilt:
A_Rechteck = h * 2 * r = 22 * 2 * 14 = 616
Der Normalenvektor der Ebene steht orthogonal zur Ebene.
Wenn das Skalarprodukt des Normalenvektors der Ebene und des Richtungsvektors der Geraden Null ergibt, verläuft die Gerade orthogonal zum Normalenvektor und parallel zur Ebene.
(1│1│0) * (-6│6│7) = (-6│6│0) = 0
Damit ist nachgewiesen, dass die Gerade parallel zur Ebene verläuft.
Um den Abstand der Geraden von der Ebene zu ermitteln, reicht es, den Abstand des Stützpunktes P (p_1│p_2│p_3) von der Ebene zu ermitteln.
n_1 = -6 ; n_2 = 6 ; n_3 = 7 ; a = 9 ; P (4│4│6)
Abstand Punkt - Ebene:
d = │n_1 * p_1 + n_2 * p_2 + n_3 * p_3 - a│/√(n_1² + n_2² + n_3²)
d = │-6 * 4 + 6 * 4 + 7 * 6 - 9│ / √((-6)² + 6² + 7²)
d = 33 / √121
d = 3
Der Minutenzeiger schafft 6° pro Minute und der Stundenzeiger 0,5° pro Minute.
Der Minutenzeiger startet bei 0 Minuten und der Stundenzeiger bei 10 Minuten.
Damit ergibt sich folgende Gleichung mit x in Minuten:
6 * x = 0,5 * (x + 10)
6 * x = 0,5 * x + 5
5,5 * x = 5
x = 10 / 11 Minuten = 0,9090... Minuten (entspricht 54,54... Sekunden)
Zeiger Deckungsgleich um 14:10:55 Uhr.
Wenn Du die Wandstärke zum Durchmesser addierst, musst Du sie mit 2 multiplizieren. Oder Du rechnest wie folgt:
r_innen = 11,50 m
r_außen = 11,525 m
O = 4 * π * r_außen²
(x³ + 1) : (x + 1) = x² - x + 1
-(x³ + x²)
-----------------
-x² + 1
-(-x² - x)
-------------------
x + 1
-(x + 1)
-----------
0
tan(α / 2) = 2,5 / 3,5
α = 71,08°
Der Kosinus geht auch, wenn man vorab die Hypotenuse berechnet, ist aber zu umständlich.
Das ist doch eine schöne Übung. Du musst das Thema übersichtlich strukturieren, Fälle unterscheiden und wichtiges und unwichtiges trennen, da der Platz begrenzt ist, aber gleichzeitig sollte der Spicker umfassend sein. Du musst also auf den Punkt kommen und mit wenigen Worten und Zeichen viel ausdrücken. Wenn Dir das auf einer Seite gelingt, hast Du das Thema verstanden und brauchst den Spicker nicht mehr.
Es gibt viele Berufe, in denen ein gutes räumliches Vorstellungsvermögen wichtig ist, z.B. als Architekt, Konstruktionsmechaniker oder Maschinenbauer. In der Justiz kommt es m.E. auf andere Qualitäten an und das räumliche Vorstellungsvermögen kann keine höchste Priorität haben.
Im Internet findet man unter "räumliches Vorstellungsvermögen Übungen" viele Aufgaben und Tests. Ich glaube aber nicht, dass man in überschaubarer Zeit seine diesbezüglichen Fähigkeiten verbessern kann. Man erhält eher eine Bestandsaufnahme.