Wieviele lösungen bei komplexen gleichungen?
Zb bei z^2=3-4i, komme ich auf 2-i (hab mit eulersche form gerechnet). Allerdings haben jetzt ein paar zwei lösungen bei dieser Gleichung, wüsste aber nicht was ich falsch gemacht habe :/
3 Antworten
Die n-te Wurzel zieht man, indem man die n-te Wurzel aus dem Betrag zieht und das Argument durch n dividiert.
Insgesamt gibt es n Lösungen, sie liegen auf einem Kreis mit Radiuns n-te Wurzel(Betrag), die Argumente liegen je 2*pi/n voneinender entfernt.
In deinem Fall ist n = 2, die zweite Lösung liegt also um 180° "weiter" bei -2+i.
genau. und die 3 Lösungen sind dann je 120° voneinander entfernt
danke :) bin zwar noch ein bisschen verwirrt weil einer sagt, dass es hier schon 3 lösungen gibt, aber ich glaub da mal eher dir, deine Erklärung ist immerhin schlüssiger als "kopf anschalten" xD
Das mit den 3 Lösungen habe ich hier auch gelesen, ist aber völliger Quatsch.
Sieh dir auch die Antwort von Volens an.
Und die Probe kann man ja schnell machen, indem man seine Lösungen wieder (in diesem Fall) quadriert.
Die n-te Wurzel hat im Komplexen IMMER n Lösungen (maximal 2 davon können reell sein)
ich würds ganz banal rechnen:
z=a+bi
damit ist
z^2
=(a+bi)^2
=a^2+2abi+(bi)^2
=(a^2-b^2)+(2ab)*i
was gleich 3-4i sein soll.
also folgt
a^2-b^2=3 und
2ab=-4 <=> ab=-2
2 .gleichung nach b auflösen, in 1. gleichung einsetzen:
b=-2/a
-> a^2-(-2/a)^2=3
a^2-4/a^2=3
a^4-3a^2-4=0
mit pq formel nach a^2 auflösen, damit dann lösungen für a bestimmen.
damit dann die lösungen für b=-2/a bestimmen.
Am Schluss alle Lösungspaare in die ursprüngliche gleichung einsetzen um sicherzustellen dass sie auch stimmen :-)
Bei quadratischen Gleichungen sind zwei Lösungen ja nicht gerade ungewöhnlich.
dh. bei einer kubik wurzel ist n=3?