Symmetrie?
Kann mir jemand erklären, wie ich diese Aufgaben lösen kann?
3 Antworten
Du stellst den Term für f(-x) auf, d. h. Du ersetzt jedes x durch (-x) und vereinfachst den Term dann (also die x-Potenzen "ausrechnen"). Das Ergebnis daraus vergleichst Du dann mit der gegebenen Funktion f(x). Ergibt f(-x) das gleiche wie f(x), dann ist f achsensymmetrisch zur y-Achse. Gilt f(-x)=-f(x) [d. h. Du klammerst das Minuszeichen beim Term von f(-x) aus], dann ist f punktsymmetrisch zum Ursprung.
Beispiel f3: f(-x)=6(-x)^5-4(-x)³+(-x)=-6x^5+4x³-x=-(6x^5-4x³+x)=-f(x)
D. h. f ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Richtig, das ist wegen der geraden Exponenten 2x^4+x²-14, also wieder f(x), also ist f1 achsensymmetrisch zur y-Achse
Tut mir leid, stehe gerade etwas auf dem Schlauch. Wie gehe ich weiter vor wenn ich überall -x eingesetzt habe?
Du rechnest dann die x-Potenzen aus, d. h. aus (-x)^4 wird x^4 und aus (-x)² wird x², d. h. Du hast danach wieder das gleiche da stehen wie im Ursprungsterm.
Immer, wenn der Exponent gerade ist, kannst Du das Minuszeichen einfach weglassen (minus mal minus ergibt ja plus, und wenn Du das mit einer geraden Anzahl an Faktoren machst, kommt immer plus raus); bei ungeraden Exponenten bleibt das Minus bestehen, dann änderst Du beim Weglassen der Klammer das Vorzeichen davor, wie z. B. bei f3, was ich vorgemacht habe: aus -4(-x)³ wird da +4x³, denn (-x)³ ist das gleiche wie -x³ und -4 * (-x³) = +4x³
Danke! Wird bei f2 das x^3 positiv, weil es im Ursprungsterm schon negativ ist oder bleibt es negativ?
(-x)³ wird "ausgerechnet" zu -x³, also "erst einmal" negativ. Aber mit dem Minus, das noch als "Vorfaktor" im Funktionsterm davor steht, hast Du jetzt -(-x³) und das ergibt +x³.
Nicht zum Nullpunkt! Denn hinten die +2 bleibt unverändert, bei Punktsymmetrie zum Nullpunkt müssen ALLE Vorzeichen "umgekehrt" sein.
Oh okay stimmt. Dann liegt keine Symmetrie vor?
Richtig, zumindest keine der beiden gefragten Symmetrien, d. h. f2 ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Nullpunkt.
D. h. wenn eine Funktion keine dieser beiden Symmetrien aufweist, heißt das nicht, dass sie gar nicht symmetrisch ist.
Denke einfach mal an verschobene Parabeln! Parabeln sind immer achssymetrisch zu der Achse durch ihren Scheitelpunkt. Funktionen dritten Grades z. B. sind immer punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt.
Was man wissen muss:
1) Bedingung für Achsensymmetrie zur y-Achse: f(-x) = f(x)
2) Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung: f(-x) = - f(x)
Also prüfen, ob eine der beiden Bedingungen erfüllt ist.
Mit etwas Erfahrung kommt dann die Erkenntnis, dass das etwas mit "Potenzen von x" zu tun hat.
Bedingung für Exponenten bei entsprechnder Symmetrie nutzen. Die ergibt sich aus f(x) = f(-x) bzw. f(x) = - f(-x)
Okay vielen Dank. Also zum Beispiel: f1: f(-x) = 2 (-x)^4+ (-x)^2 -14 ?