lineare gleichungssystem gesucht?

Du kannst den folgenden Ansatz machen:

Wir wissen, dass die Dimension des Lösungsraums zwei ist, also brauchen wir auch nur eine Gleichung: Jede Gleichung beschreibt eine Ebene. Damit wir eine zweidimensionale Lösung erhalten, muss die Lösung eine Ebene sein, also kann es nur eine geben (bei zwei Ebenen würde die Lösungsmenge eine Gerade sein - solange es nicht die identische Gleichung ist -, bei drei kann es sogar nur ein Punkt sein).

a_1 X + a_2 Y + a_3 Z = b_1

Nun setzen wir eine beliebige Linearkombination der beiden Vektoren ein, wobei X die erste, Y die zweite und Z die dritte Komponente der Linearkombination x (1, 0, –1) + y (0, 1, –1) mit beliebigen reellen x und y ist.

a_1 (x + 0) + a_2 (0 + y) + a_3 (–x – y) = b_1

Das formen wir so um, dass x und y zusammengefasst sind.

(a_1 – a_3) x + (a_2 – a_3) y = b_1

Damit die linke Seite weder von x noch von y abhängt, setzen wir a_1 = a_3 = a_2 := a und b_1 = 0. Wir erhalten damit die Gliechung

a X + a Y + a Z = 0.

Da wir für a einsetzen können, was wir wollen, können wir als System zum Beispiel die drei Gleichungen mit a = 1, a = 2 und a = –1 wählen. Wir erhalten das LGS:

X + Y + Z = 0

2 X + 2 Y + 2 Z = 0

–X – Y – Z = 0

Es gibt aber auch unendlich viele andere Möglichkeiten und es müssen auch keine drei Gleichungen sein, es müssen nur mindesten zwei sein, da man sonst wohl nicht von einem System sprechen kann.