Kreuzprodukt auf Umkehrbarkeit prüfen?
Hallo zusammen,
Folgendes Problem,
ich hab eine Abbildung von R^3 --> R^3 u |----> a x u
und soll diese auf Injektivität und Surjektivität überprüfen.
Injektivität
f(u1)=f(u2)
wenn gilt:
a x u1 = a x u2
=> Ist injektiv
hatte dann am ende ausdrücke wie a2(u13-u23)=a3(u12-u22)
folgt daraus nicht das die Abbildung Injektiv ist? ^^
1 Antwort
Das Kreuzprodukt in R³ ist
nicht injektiv.
Die Injektivität läßt sich durch ein einfaches Gegenbeispiel widerlegen:
Je zwei Vektoren, die linear abhängig sind, haben als Ergebnis des Kreuzproduktes immer den Nullvektor.
Es lassen sich also sehr leicht zwei Paare von Vektoren finden, die zwar verschieden sind, aber trotzdem das gleiche Kreuzprodukt haben. Damit ist die für die Injektivität geforderte Linkseindeutigigkeit des Kreuzprodukt-Operators nicht gegeben.