Der Paragraf, der hier rrelevant ist, ist § 929 BGB. Der hilft dir aber nicht so viel weiter, weil er nur ganz allgemein und abstrakt den Eigentumsübergang regelt.
Eigentümer ist demnach derjenige, der vom früheren Eigentümer die Sache übergeben bekommen hat und wenn man sich dabei geeinigt hat, dass das EIgentum übergehen soll.
Lediglich ein Indiz dafür ist, mit wem der Kaufvertrag geschlossen wurde und wem die Schlüssel vom Verkäufer übergeben worden sind.
Auf wen das Auto angemeldet oder versichert ist, wer den Kaufpreis oder sonstiges gezahlt hat, ist letztendlich rechtlich aber egal für den Eigentumsstatus.
Bezüglich der Bank kommt es darauf an, was sie sich für eine Sicherheit hat geben lassen. Es kann sein, dass eine Sicherungsübereignung stattgefunden hat, dann liegt das Eigentum bei der Bank, andernfalls bleibt es bei dir/deinem Vater.
Was du jetzt praktisch tun kannst:
Nachschauen, ob eine Sicherungsübereignung an die Bank erfolgt ist, wenn das der Fall ist, einfach dem BAföG-Amt ein Dokument schicken, aus dem das hervor geht.
Ansonsten: Dein Vater hat den Kaufpreis bezahlt, oder? Dann würde ich versuchen, einen Beleg dafür zu finden, zur Not einfach deinen Vater eine Erklärung abgeben lassen, dass er das Auto bezahlt hat, es jetzt sein Eigentum ist und er es dir zur Verfügung stellt.
Denk dran: Letztendlich geht es dem BAföG-Amt darum, dein Vermögen zu ermitteln, also das Geld, das du zur Verfügung hast. Du musst also argumentieren, dass das Auto deinem Vater gehört, er es dir nur für die Fortbewegung zur Verfügung stellst, du es aber nicht veraufen dürftest, also darüber hinaus keinen finanziellen Vorteil daraus hast.