Hallo,
nenn die ursprüngliche Anzahl x und rechne x+7-3 usw. gleich 22.
Dann nach x auflösen.
Zur Kontrolle: x=6.
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo,
gesucht wird die Wahrscheinlichkeit p, so daß die Wahrscheinlichkeit, nach zwei bereits gewonnenen Sätzen einen dritten Satz zu gewinnen, möglichst gering wird.
Dazu muß die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das Spiel mehr als drei Sätze hat, möglichst groß werden. Wenn die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, p ist, ist die Wahrscheinlichkeit zu verlieren 1-p.
Wann ist das Spiel nicht nach drei Sätzen zu Ende?
Am Anfang stehen auf jeden Fall zwei gewonnene Sätze - das ist die Voraussetzung.
Ist der dritte Satz auch gewonnen, war's das.
Mit mehr als drei Sätzen geht es so weiter (G=Gewinn; N=Niederlage):
Zunächst also G-G, dann entweder N-G oder N-N-G oder N-N-N.
Wenn diese Ereignisse zusammen möglichst wahrscheinlich werden, wird das Ereignis eines Dreisatzsieges möglichst unwahrscheinlich.
G-G hat die Wahrscheinlichkeit p². Dann fächert sich das auf zu N-G, also (1-p)*p, N-N-G, also (1-p)²*p und N-N-N, also (1-p)³.
Ergibt die Funktion des Nicht-Dreisatzsieges p²*[(1-p)*p+(1-p)²*p+(1-p)³]
Ergibt zusammengefaßt p²*(p-p²+p-2p²+p³+1-3p+3p²-p³)=p²*(1-p)=p²-p³.
Das muß abgeleitet werden, weil ein Extremwert gefunden werden muß, und gleich 0 gesetzt werden, also 2p-3p²=0 und faktorisiert p*(2-3p)=0. Ein Extremum liegt also bei p=0. Der kommt nicht infrage, denn bei einer Gewinnwahrscheinlichkeit von 0 gewinnt Mannschaft A keinen einzigen Satz, geschweige denn zwei oder drei.
Bleibt nur noch 2-3p=0, also p=2/3.
Gewinnt A mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3, wird die Wahrscheinlichkeit eines Spiels mit mehr als drei Sätzen möglichst groß und damit die Wahrscheinlichkeit eines Dreisatzspiels möglichst klein.
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo,
0,85^n=0,5 nach n auflösen (Logarithmus anwenden).
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo,
der Taschenrechner hat das sogenannte teilweise Wurzelziehen angewandt.
Wurzel (a²*b)=Wurzel (a²)*Wurzel (b)=a*Wurzel (b), weil sich das Quadrat und die Wurzel bei Wurzel (a²) gegenseitig aufheben.
Da x^7 nach dem Potenzgesetz gleich x^(2+5)=x^2*x^5 ist, kannst Du die Wurzel aus x^7 umschreiben zu Wurzel (x^2*x^5), und das wiederum zu Wurzel (x^2)*Wurzel (x^5).
Wurzel (x^2) ist aber nichts anderes als x, so daß die Wurzel aus x^7 das gleiche ist wie x*Wurzel (x^5).
Das hat nichts mit Hochschulmathematik zu tun, sondern mit Rechengesetzen, die man in der Schule gelernt haben sollte und die Du auch im ersten Band des Papula finden wirst.
Mach Dich damit vertraut. Du mußt wissen, wie man Brüche mit unterschiedlichen Nennern addiert und subtrahiert und sie zu diesem Zweck gleichnamig macht. Du mußt mit Wurzeln umgehen können und auch das teilweise Wurzelziehen beherrschen, bei dem man aus dem Term unter der Wurzel einen quadratischen Faktor herauszieht und in seiner radizierten Form vor die Wurzel stellt. Du mußt die Potenz- und Logarithmengesetze beherrschen und wissen, wie man Gleichungen nach beliebigen Unbekannten durch Äquivalenzumformungen auflösen kann.
Arbeite die entsprechenden Kapitel in Deinen Büchern gründlich durch und bemühe Dich, diese Gesetze auch zu verstehen.
Das sind Grundlagen, ohne deren Beherrschung Du den mathematischen Teil Deines Studiums nicht überleben wirst.
Wenn ich so etwas kann, der seit 45 Jahren keinerlei Matheunterricht mehr hatte und der Theologie studiert hat (eine Wissenschaft, bei der man höchstens bis 50 zählen können muß (Tage zwischen Ostern und Pfingsten), solltest Du das auch hinbekommen.
Viel Erfolg,
Willy
Hallo,
zeichne ein Dreieck aus drei Vektoren a, b und c. Du fängst mit a an, fügst an die Spitze von a den Anfang von Vektor b (also das Ende ohne Pfeil).
Die Operation a+b ergibt dann den Vektor c, der am hinteren Ende (ohne Pfeil) von a anfängt und dessen Spitze bei der Spitze (Pfeil) von b liegt.
Wenn a+b=c, dann b=c-a.
Wie verläuft b in dem Dreieck? Dieser Vektor beginnt bei der Spitze von a und endet an der Spitze von c (hier trifft Spitze auf Spitze).
Das Dreieck hat sich dabei nicht geändert. Die Vektorsubtraktion geht also aus der Vektoraddition hervor.
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo,
dafür mußt Du mehrere Formeln anwenden.
Zunächst mal mußt Du die möglichen Verteilungen von sechs Kugeln auf drei Urnen auflisten, die von 6-0-0 (bei unterschiedslosen Urnen braucht man nicht noch zu 6-0-0; 0-6-0 und 0-0-6 aufzuschlüsseln) bis 2-2-2 reichen.
Für jede Verteilung mußt Du über Binomialkoeffizienten berechnen, wie sich die einzelnen Kugeln innerhalb dieser Verteilungen verteilen.
Bei 6-0-0 gibt es nur eine Möglichkeit, nämlich alle sechs in eine Urne, bei 4-2-0 sind es 15 Möglichkeiten, denn aus sechs Kugeln kann man vier bzw. zwei auf (6 über 4) gleich 15 unterschiedliche Arten verteilen, wenn die Kugeln unterscheidbar sind.
Diese Anzahl muß für jede Verteilung der Kugeln auf die Urnen einzeln berechnet werden. Anschließend alles addieren.
Ich bin auf 207 gekommen, aber ohne Gewähr; ich kann auch die eine oder andere Möglichkeit übersehen haben.
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo,
nach Erweiterung mit cos (7x) und Stellung der 2 vor das Integral bekommst Du
2*Int (cos (7x)/(cos²(7x)*sin (7x)).
Den Term hinter dem Integral kannst Du umgruppieren zu (1/cos²(7x)*cos(7x)/sin(7x)), was wiederum (1/cos²(7x))*(1/tan(7x)) ergibt.
Nun substituierst Du u=tan(7x) und mußt den Substitutionsausgleich bestimmen:
du/dx=7/cos²(7x), daher ist dx=cos²(7x)/7. Die 7 ziehst Du ebenfalls vor das Integral und cos²(7x) kürzt Du. So bekommst Du (2/7)*Int (1/u)=(2/7)*ln |u|.
Rücksubstitution führt zu (2/7)*ln |tan(7x)|+C.
Bei der Substitution ist darauf zu achten, daß die alte Variable (hier also x) vollständig verschwindet. Deswegen ist die Substitution mit dem Tangens anzuraten, da sich der Substitutionsausgleich und das cos²(7x) im Nenner aufheben.
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo,
zum Beispiel (2/-1/1)+s*(-3/1/1) sollte passen.
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo,
20 cm. Die Zahlen 3, 4 und 5 bilden ein pythagoräisches Tripel, sie sind also eine ganzzahlige Lösung für die Gleichung a²+b²=c².
Das gilt auch für die ganzzahligen Vielfachen dieses Tripels, also auch für 12, 16 und 20, denn 12 ist 4*3, 16 ist 4*4 und 20 ist 4*5.
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo,
am schnellsten geht 2*arctan (5/7). Liefert alpha sofort. Rechner auf DEG einstellen.
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo,
die Tangente vom Schurken zum Helden hat die Gleichung y=mx+b.
Da der Schurke auf Punkt (30|52) steht, muß gelten:
52=30m+b und daher: b=52-30m.
m, die Steigung der Tangente, muß am Berührpunkt mit der Flugbahn des Helden auch die Steigung der Flugbahn dort sein. Außerdem müssen die Funktionswerte dort gleich sein.
Die Ableitung von f(x)=30e^(-x)+52 ist -3e^(-x).
Das ist gleich m in der Tangentengleichung.
Mit m=-3e^(-0,1x) und b=52-30m lautet die Tangentengleichung
y=-3e^(-0,1x)*x+52+90e^(-0,1x).
Das muß mit 30e^(-0,x)+52 gleichgesetzt werden, wobei sich die 52 auf beiden Seiten schon mal aufhebt. Es bleibt 30e^(-0,1x)=-3e^(-0,1x)*x+90e^(-0,1x).
Substitution u=e^(-0,1x) ergibt 30u=-3ux+90u und somit 60u=3ux und daher x=20.
Bei x=20 befindet sich daher der Berührpunkt.
Setzt Du diesen Wert in 30e^(-0,1x)+52 ein, kommst Du auf den dazugehörigen Funktionswert 56,06.
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo,
Du kannst durch 10.000.000 kürzen, dann:
6*1,03^t=11*1,01^t.
(1,03/1,01)^t=11/6.
t*ln (1,03/1,01)=ln (11/6).
t=ln (11/6)/ln (1,03/1,01)=30,9 Jahre.
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo,
leg Dir eine Perücke oder ein gesundes Selbstbewußtsein zu (Letzteres wäre zu empfehlen).
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo,.
einfach Funktionsgleichung mit 175 gleichsetzen.
Das dann nach t aufzulösen, ist zwar möglich, aber nur über ein recht kompliziertes Verfahren.
Da steht aber nicht: Berechnen Sie, sondern ermitteln Sie.
Du könntest ein Näherungsverfahren wie das von Newton benutzen oder einfach herumprobieren oder den Rechner ranlassen. Viele Rechner um etwa 25 € beherrschen Polynomgleichungen vierten Grades.
Meiner sagt, daß der Schwellenwert von 175 bei t=173,9139516 Minuten erreicht wird. Ich bin geneigt, ihm zu glauben.
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo,
was soll da groß passieren?
Zieht ein kleines bißchen Strom, wird aber nicht anfangen, den Laden zu zerlegen.
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo,
in Vereinen, Kirchengemeinden, anderen sozialen Einrichtungen findet man relativ schnell Anschluß.
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo,
1/(2e) bleibt als konstanter Faktor erhalten.
In der Klammer: Eine Stammfunktion von e^x ist ebenfalls e^x; eine Stammfunktion von e^(-x) ist -e^(-x).
Ergibt F(x)=1/(2e)*(e^x+e^(-x)+C
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo,
meinst Du e^(2x) und 3e^(2x)?
Die kannst Du zu 4e^(2x) zusammenfassen.
4e^(2x)=12| :4
e^(2x)=3| ln
2x=ln(3)
x=(1/2)*ln(3).
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo,
wenn es 18 % an Wert pro Jahr verliert, ist der Wert nach einem Jahr nur noch 82 % vom Neuwert. Im Jahr 2 sind es 82 % vom Wert von Jahr 1 und so weiter.
Mit t gleich einem Jahr rechnest Du: Wert nach t Jahren gleich 24.000*0,82^t.
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo,
nutz die Symmetrie zur y-Achse aus. Von 0 bis a und von a bis 3 berechnen, dann das Ergebnis verdoppeln.
Wenn Du die Fläche ganz rechts nicht von a bis 3, sondern von 3 bis a berechnest, bekommst Du auch dort ein positives Ergebnis.
Du rechnest also 2*(F(a)+F(a)-F(3))=4F(a)-2F(3).
Nachtrag:
a ist doch einfach die Nullstelle der Funktion, die größer als 0 und kleiner als 3 ist.
Da es sich um eine biquadratische Funktion handelt, ist die Nullstelle durch Substitution von x²=z leicht über ein Lösungsverfahren für eine quadratische Funktion und anschließendes Wurzelziehen lösbar. Hier ist a die Wurzel aus 1,8 gleich Wurzel (9/5)=3/Wurzel (5).
Da die Gesamtfläche 4*F(a)+2*F(3) ist, F(3) aber gleich 0, bekommst Du die Fläche heraus, indem Du 4*F(3/Wurzel (5)) berechnest.
Daß die Fläche von 0 bis a gleich dem Betrag der Fläche von a bis 3 ist, merkst Du auch, wenn Du von 0 bis 3 durchintegrierst und 0 herausbekommst. Das bedeutet nämlich, daß sie die Flächen oberhalb und unterhalb der x-Achse aufheben und daher gleich groß sein müssen und nur unterschiedliche Vorzeichen haben.
Herzliche Grüße,
Willy