Wieviel ist die unendlichste Wurzel aus unendlich?
Beträgt sie unendlich?
3 Antworten
Unendlich ist keine Zahl, dementsprechend kannst du auch nicht damit rechnen.
Allerdings können wir uns dem Ergebnis durch eine Grenzwertbetrachtung annähern, durch den Grenzwert der n-ten Wurzel aus n für n gegen Unendlich, mathematisch folgendermaßen ausgedrückt:
lim n → ∞ ⁿ√n
Und der Grenzwert ist 1, das kann man auch anschaulich zeigen:
¹⁰√10 ≈ 1,2589
¹⁰⁰√100 ≈ 1,0471
¹⁰⁰⁰√1000 ≈ 1,0069
¹⁰⁰⁰⁰⁰⁰√1000000 ≈ 1,0000
Der Wert des Terms ⁿ√n nähert sich also immer weiter der 1 an - das ist auch im angefügten Schaubild schön ersichtlich. Der Graph näher sich zwar langsam, aber sicher der 1 an.
Somit ist der gesuchte Grenzwert von ⁿ√n gegen Unendlich eben 1, wenn du die n-te Wurzel aus n ziehst und das n immer größer werden lässt, erhältst du irgendwann (fast) den Wert 1.
Vorsicht ! Willibergi benützt hier eine (nach meiner Ansicht nicht gerechtfertigte) Annahme, die du möglicherweise auch nicht beabsichtigt oder überhaupt bedacht hast. Beachte: ∞ ist keine Zahl, mit der man in gewohnter Weise rechnen kann.
Beachte: ∞ ist keine Zahl, mit der man in gewohnter Weise rechnen kann.
Und genau deshalb rechne ich auch mit Nichten mit Unendlich. ;-)
Hallo Willibergi,
bei deiner Überlegung setzt du eigentlich voraus, dass die beiden "∞" im eigentlich undefinierten Term "identisch" sein sollen. Dies halte ich nicht für zuläßig. Andernfalls müsste man z.B. auch etwa die Gleichung ∞ / ∞ = 1 akzeptieren.
Hey rumar,
nun, ∞/∞ ist genauso undefiniert wie ∞^(1/∞), da sind wir uns ja einig.
Und auch bei der Grenzwertbetrachtung kommen wir niemals auf den undefinierten Ausdruck zurück, sondern lediglich auf den Term ⁿ√n für große n.
Wir könnten auch eine Grenzwertbetrachtung für n/n machen, was allerdings auch nicht aussagt, dass ∞/∞ definiert wäre. Das ist - wie bei 0/0 - schlichtweg nicht der Fall, denn wir nähern uns der gesuchten Größe ja nur an - auch mit der Approximation kann ich noch nicht sagen, dass die unendlichste Wurzel aus Unendlich gleich Eins wäre; die Undefiniertheit bleibt.
Und der sprachliche Ausdruck der unendlichsten Wurzel aus Unendlich impliziert praktisch auch eine Gleichheit zwischen Wurzelexponent und Radikand, da etwas größeres wie Unendlich nicht existiert, Unendlich bleibt Unendlich, aber bleibt auch keine Zahl, sondern einfach nur ein Symbol für das Unfassbare, das nicht endliche.
Wie Willibergi schon sagt: ∞ ist keine Zahl. Das Symbol '∞' steht für das Potential Unendliche, dafür, dass eine Größe über jede Schranke wächst.
Die Größen müssen dabei überhaupt nicht identisch sein; „unendlichste Wurzel aus Unendlich“ kann für
lim[x→∞] x^{1/x} = 1,
aber ebensogut für
lim[x→∞] (x²)^{1/x} = x^{2/x}
oder etwa
lim[x→∞] (e^{x})^{1/x} = e^{x/x} = e
stehen, denn wenn x gegen Unendlich geht, tut dies eben auch e^{x}, nur schneller (wobei man hier den Grenzwert gar nicht braucht).
Das Aktual Unendliche ist das Reich der NichtstandardanaIysis, die ich mir freilich mehr autodidaktisch etwas angeeignet habe. Deshalb sind meine Angaben hier ohne Gewähr.
Jedenfalls kennt die NichtstandardanaIysis nicht ein „Unendlich“, sondern viele verschiedene unendliche Zahlen, deren Kehrwerte wohlunterschiedene infinitesimale Zahlen sind. Wenn α eine unendliche Zahl ist, so sollte
α^{1/α}
eine Zahl sein, die der 1 infinitesimal benachbart ist.
Nein, eine solche Wurzel ist schlicht und einfach nicht definiert.
Will man etwas anderes postulieren, so ist es nicht mehr weit bis in Teufels Küche ...
Wow, danke jetzt versteh ich es :D