Mit S Bahn Ticket ICE fahren?

Das ist noch ein wenig komplizierter:

Hast Du ein Ticket zum Flexpreis, dann darfst Du die Züge abwärtskompatibel benutzen - also mit einem ICE-Ticket alle Züge der DB, mit einem IC-Ticket eben ICs und Nahverkehrszüge und mit einem Nahverkehrsticket nur Nahverkehrszüge (RE, RB, IRE, S-Bahn).

Bei einem (Super)Sparpreis gilt für die Fernverkehrszüge Zugbindung, bei eventuellem Anschlussverkehr mit dem Nahverkehr gilt das Ticket nur für Nahverkehrszüge. Ausnahme: Ist wegen einer Verspätung oder eines Ausfalls davon auszugehen, dass Du mindestens 20 Minuten zu spät ankommen wirst, ist die Zugbindung aufgehoben und das Ticket darf auch aufwärtskompatibel genutzt werden.

Bei der Relation Frankfurt - Darmstadt kommt die Besonderheit hinzu, dass es sich um eine Verbindung innerhalb des Rhein-Main-Verkehrsverbundes handelt. Der Verbundfahrschein gilt aber eben nur für Verkehrsmittel des Nahverkehrs, Du kannst aber auch die anderen Verbundverkehrsmittel (z.B. Busse) nutzen.

Hinweis:
Sofern es sich um ein Studi-Ticket handelt, musst Du die individuellen Bedingungen durchlesen, jede Hochschule hat ein anderes Abkommen und bei manchen Hochschulen ist tatsächlich auch eine Fernverkehrsnutzung vereinbart.

Nein, für den ICE brauchst du eine entsprechende Fahrkarte. Wenn du nur Regio kaufst, darfst du damit keinen Fernverkehrszug nutzen.

Generell darf man nicht, nein. Der Fernverkehr wird ja von einem anderen Unternehmen angeboten als der Regionalverkehr und die S-Bahn.

Speziell im Raum Frankfurt ist es derzeit aber ausnahmsweise erlaubt, zwischen Hauptbahnhof und Flughafen den Fernverkehr zu nutzen, wegen der Bauarbeiten in Rüsselsheim und dem deswegen stark verringerten Angebot.