Mathe: Das Rosinenproblem
Ich schreib morgen eine Klassenarbeit in Mathe über Wahrscheinlichkeiten. Da kommt auch so eine Aufgabe dran, die dich leider nicht verstehe: 'Ein Bäcker bäckt 10 Lagen von 10 Brötchen. Wie viele Rosinen muss er dem Teig für eine Lage hinzufügen, so dass jeder Brötchen mit 95% Wahrscheinlichkeit mind. eine Rosine enthält?' Bitte helft mir!! Es ist wichtig!!
5 Antworten
Bei n Rosinen und 10 Brötchen ist die Anzahl aller möglichen Verteilungen gerade (n+9) über 9.
die Anzahl aller Verteilungen, bei denen in jedem Brot mindestens eine Rosine schon ist, beträgt (n-1) über 9.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist demnach
p = ((n-1) über 9)/((n+9) über 9).
Für n=31 ergibt sich erstmals ein Wert über 5%.
Ein Beispiel für 4 Brötchen und 8 Rosinen:
Die Schreibfigur oo|o|ooo|oo soll folgendes bedeuten: Im ersten Brötchen sind 2 Rosinen, im zweiten dann eine, im dritten sind 3 Rosinen und im vierten Brötchen sind 2 Rosinen.
||ooooo|ooo heißt: Erstes Brötchen nicht, zweites Brötchen nichts, drittes Brötchen 5 Rosinen, viertes Brötchen 3 Rosinen.
Es geht nun um alle solche Belegungen, davon gibt es aber (in diesem Beispiel) (8+3) über 3, also 11 über 3 = 165.
Wenn nun in jedem Brötchen mindestens eine Rosine sein soll, bleiben noch 4 Brötchen zu verteilen, zum Beispiel |o|oo|o. Dafür gibt es dann (4+3) über 3, also 7 über 3 = 35.
Die Wahrscheinlichkeit, dass man eine Verteilung erwischt, in der mindestens 1 Rosine in jedem Brötchen ist, ist nun 35/165.
Das sind eher so kleine Tricks, die man in einer Kominatorikvorlesung im Mathestudium lernt, obwohl die Idee an sich und das Rechnen selbst ja recht einfach ist.
"die Anzahl aller Verteilungen, bei denen in jedem Brot mindestens eine Rosine schon ist, beträgt (n-1) über 9"
Das stimmt nicht. Stell dir 9 Rosinen vor: Die Anzahl der Verteilungen, bei denen in jedem Brot eine Rosine ist, betrüge dann 8 über 9, also null.
Natürlich gibt es aber eine Verteilung: nämlich die, bei der jedes Brötchen genau eine Rosine bekommt.
Das musste über die Gegenwahrscheinlichkeit machen.
Mindestens eine ist das Gleiche wie 1-keine.
Also:
1-(9/10)^n=0,95
0,05=(9/10)^n wobei n natürlich immer die (gesuchte) Anzahl gesamter Rosinen im Teig ist. Auf ein Urnenexperiment übertragen wäre das die Anzahl der Ziehungen (mit Zurücklegen).
Somit:
log0,05/log9/10=n
n=28,43
Da es keine halben Rosinen oder Anzahl Ziehungen gibt, musst du immer aufrunden, ansonsten stimmen die mindestens 95% nicht mehr.
Also müssen 29 Rosinen drin sein.
Ich habe im übrigen die Ungleichungszeichen gegen ein = ersetzt - der Einfachheit halber.
Ganz sicher mit deinem Gegenereignis?
Das Gegenteil von "jedes Brötchen enthält mindestens eine Rosine" lautet wohl "es gibt mindestens ein Brötchen, welches keine Rosine enthält".
In deiner Antwort berücksichtigst du dies jedoch nicht. Der Fehler ist allerdings recht klein, da bei großer Anzahl von Rosinen die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als ein Brötchen keine enthält, sehr klein ist.
Super, jetzt hab ich einen Knoten im Kopf.
Ich denke schon, dass es so ist.
Bei mindestens 1 muss man immer übers Gegenereignis gehen, sonst rechneste dich doof und dusselig.
Obwohl lks72s Lösungsansatz auch recht verwirrend klingt - is vielleicht richtiger :-D
Deine Intention mit dem Gegenereignis ist schon klar.
A: "Bei n Rosinen ist in jedem Brötchen mindestens 1 Rosine".
(9/10)^n ist aber die Wahrscheinlichkeit für folgendes Ereignis:
B: "Bei n Rosinen gibt es genau ein Brötchen mit keiner Rosine".
B ist aber nicht das Gegenereignis von A. Vergessen sind zum Beispiel Fälle, in denen 2 Brötchen keine Rosinen haben, 3 Brötchen usw.
Daher lautet das korrekte Gegenereignis:
C: "Es gibt mindestens ein Brötchen, das keine Rosine enthält".
Dies macht die Aufgabe aber nicht einfacher. Das Problem ist einfach, dass in dieser Aussage halt zwei Quantoren drinstecken.
Der Ansatz von lks72 in seiner ersten Antwort ist zwar richtig, wurde aber falsch zu Ende geführt. Die Wahrscheinlichkeit soll ja nicht 5% sondern 95% (besser wäre 'mindestens 95%') betragen. Damit erhält man die Lösung: Er muss pro Lage mindestens 1755 Rosinen hinzufügen.
Ich schlage vor, das Ergebnis noch einmal zu überdenken. Hältst du es für wahrscheinlich, dass 1700 Rosinen, die sich auf 10 Brötchen verteilen, eines der Brötchen auslassen?
Stell dir einmal 10 solche Brötchen vor - die haben im Schnitt 170 Rosinen... Die Wahrscheinlichkeit, dass eines keine enthält ist hier deutlich unter 5%.
Der Ansatz von lks72 in seiner ersten Antwort ist zwar richtig, wurde aber falsch zu Ende geführt. Die Wahrscheinlichkeit soll ja nicht 5% sondern 95% (besser wäre 'mindestens 95%') betragen. Damit erhält man die Lösung: Er muss mindestens 1855 Rosinen verwenden.
Kannste das mal auf ein Urnenexperiment umwalzen?