Braucht eine Elektromagnet zeit zum Hochfahren oder ist er ab dem Zeitpunkt ab dem Strom durch die Windungen läuft mit voller Kraft einsatzbereit?

Sobald der Strom durch die Spule läuft, entsteht ein Magnetfeld um den Draht rum, dass sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet. Teile also deine Entfernung zum Elektromagneten durch 300.000km/sec und du weißt, ab wann dein Magnetfeld bei dir ist.

Zum einen hat eine Spule eine Induktivität, die dafür sorgt, dass beim Einschalten der Spannung der Strom erstmal null ist, und sich dann exponentiell seinem Maximum nähert. 

Ein zweites, größeres Problem sind Wirbelstöme, die im Eisenkern induziert werden und dadurch die Einschaltgeschwindigkeit reduzieren. Normalerweise benutzt man deshalb isolierte Bleche (Trafobleche), um den Kern zu bauen. Manche ältere Großmagnete wie zB in alten Zyklotrons sind jedoch ungeblecht. Das dauert dann schonmal einen Tag, bis man ein ausreichend konstantes Magnetfeld hat. 

Ein Elektromagnet braucht sicher nicht "wie ein PC Zeit zum Hochfahren". Im Vergleich zum PC geht das sehr schnell.

Allerdings ist beim Einschalten des Stroms nicht sofort das Magnetfeld da!
Jede Spule wehrt sich gegen jede Stromänderung (also von 0 auf Maximum, das ist die Haupteigenschaft von Spulen, wegen ihrer Induktivität).
Der Strom selbst hat also "Mühe", auf volle Touren zu kommen. Deshalb nimmt auch das Magnetfeld von null an nicht schlagartig zu, sondern so wie im Bild bis auf das Maximum.
Allerdings geht das schon meist sehr schnell, Mikrosekunden bis Millisekunden, bei Grossmagneten vielleicht auch gegen eine Sekunde. Könnte man berechnen, wenn man die Induktivität und den Schleifenwiderstand kennen würde.

am Anfang ist die im Magnetfeld gespeicherte Energie gering...
diese Energie nimmt also ständig zu, bis eine Sättigung erreicht ist...

so ähnlich wie beim Kondensator...

http://ask.learncbse.in/t/the-current-flowing-through-an-inductor-of-self-inductance-l-is-continuously-increasing/7845/2

Er "arbeitet" ab dem Moment, wo er Strom bekommt und sobald der Strom "weg" ist, ist auch der Magnetismus wieder weg. Schön zu beobachten auf Schrottplätzen.....