Kommt eine falsche Aussage zustande, weil die linear unabhängig sind?

Die Frage ist, was du denn zeigen willst.

Deine Argumentation lässt sich so aufschreiben:

1. Ich nehme an, dass es eine Lösung gibt mit L3 ungleich Null.
2. Wenn es so eine Lösung gibt, dann kann ich L3 auch auf -1 setzen (oder auf jeden anderen Wert außer Null)
3. Ich setze darum L3 = -1 in die Gleichungen ein. Ich könnte auch jeden anderen Wert außer Null einsetzen - passiert immer dasselbe.
4. Daraus ergibt sich ein Widerspruch.
5. Es gibt also keine Lösung der Gleichung mit L3 ungleich Null.
6. Ich weiß jetzt, dass L3 gleich Null sein muss. Damit weiß ich, dass der Vektor V3 = (4, -8) sich nicht als Linearkombination der beiden anderen darstellen lässt.

Über die beiden anderen Vektoren weiß ich noch nichts. Ich weiß insbesondere noch nichts über die lineare Unabhängigkeit des gesamten Tripels, denn dazu müsste ich ja zeigen, dass sich KEINER der drei als Linearkombination der beiden anderen darstellen lässt.

Drei Vektoren in einer Ebene sind stets linear abhängig, daher sind auch die gegebenen drei Vektoren linear abhängig

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Bei deiner Überprüfung mittels des nullvektors:

Wenn linear unabhängig, dann ist die einzige Lösung der Gleichung, dass alle L den Wert 0 haben

Aber man sieht leicht, dass L1=-2, L2=1, L3=0 die Gleichung löst somit sind die drei Vektoren nicht linear unabhängig

Die falsche Aussage bedeutet nur dass es für L3=-1 keine Lösung der Gleichung gibt

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Wähle L3=0 und schau was für L1 und L2 herauskommt, genauer ob mit L3=0 nur L2=0, L1=0 Gleichung löst, wenn ja dann wären die Vektoren linear unabhängig

Das sieht schon ganz gut aus, habe mir aber nicht jeden einzelnen Rechenschritt angeschaut.