Wie kann man rechnerisch ein lot fällen?
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Mein Vorschlag:
Seien A und B zwei Punkt auf der Geraden und P der Punkt, von dem aus das Lot zu fällen ist.
Nun suchen wir den Fußpunkt F des Lotes.
Da er auf der Geraden liegt, ist der Vektor
AF = s * AB (s ist eine reelle Zahl).
Außerdem ist das Skalarprodukt
AB * FP = 0
Damit hat man vier Gleichungen für die Koordianten von F und den Faktor s.
(es gibt bestimmt auch elegantere Verfahren)
Hier habe ich noch etwas gefunden (mit Beispiel):
https://www.mathematik-oberstufe.de/vektoren/a/abstand-punkt-gerade-lot.html
Ich beziehe mich auf das Beispiel in
https://www.mathematik-oberstufe.de/vektoren/a/abstand-punkt-gerade-lot.html
Das ist deutlich einfacher als mein Verfahren.
Jeder Punkt auf der Geraden durch AB lässt sich als
A + s * AB schreiben.
Hier (-2 | 1 | 7) + s * (4 | 1 | -3)
(Also wäre hier B = (6 | 0 | -10).)
Jetzt wird eine Hilfsebene gesucht, auf der der Vektor (4 | 1 | -3) senkrecht steht.
Für diese Ebene ist (4 | 1 | -3) Normalenvektor, so dass die Ebenengleichung
4x + y - 3z = d ist. (d ist noch unbekannt.)
P (10 | 5 | 7) soll auf der Ebene liegen.
Da setzt man x = 10, y = 5, z = 7 in die Ebenengleichung ein und kennt jetzt auch d. (d = 24)
F liegt auf der Geraden, also
x_f = -2 + s * 4
y_f = 1 + s * 1
z_f = 7 - s * 3
und F liegt in der Ebene
4 * x_f + y_f - 3 * z_f = d
4 * (-2 + s * 4) + (1 + s) - 3 * (7 - s * 3) = 24
Daraus berechnet man s = 2.
Dann kann man den Fußpunkt des Lotes berechnen:
x_f = -2 + s * 4 = 6
y_f = 1 + s * 1 = 3
z_f = 7 - s * 3 = 1
Und wie kommt man dann auf das Ergebnis (stell mich grad ziemlich sicher absolut dumm dran, aber irgendwie versteh ich nicht, wie man damit jetzt auf die Lösung kommt😂)